ALGORITHM FOR SOLVING THE INVERSE PROBLEMS OF ECONOMIC ANALYSIS IN THE PRESENCE OF LIMITATIONS

The solution of inverse problems is considered taking into account the restrictions using inverse calculations. An algorithm is proposed for solving the inverse problem, taking into account restrictions while minimizing the sum of the absolute values of the changes in the arguments. The problem of determining the increments of the function arguments is presented as a linear programming problem. The algorithm includes solving the inverse problem with the help of inverse calculations while minimizing the sum of the absolute changes in the arguments, checking the correspondence of the obtained arguments to the given restrictions, adjusting the value of the argument if it goes beyond the limits of acceptable values, and changing the varied arguments to achieve the given value of the resulting indicator. The solution of two problems with the additive and mixed dependence between the arguments of the function is considered. It is shown that the solutions obtained in this case are consistent with the result of using an iterative procedure based on changing the resulting value to a small value until a given result is achieved, and the results are compared with solving problems using the MathCad mathematical package. The advantage of the algorithm is a smaller number of iterations compared to the known method, as well as the absence of the need to use coefficients of relative importance. The presented results can be used in management decision support system

ALGORITHM FOR SOLVING THE INVERSE PROBLEMS OF ECONOMIC ANALYSIS IN THE PRESENCE OF LIMITATIONS

The solution of inverse problems is considered taking into account the restrictions using inverse calculations. An algorithm is proposed for solving the inverse problem, taking into account restrictions while minimizing the sum of the absolute values of the changes in the arguments. The problem of determining the increments of the function arguments is presented as a linear programming problem. The algorithm includes solving the inverse problem with the help of inverse calculations while minimizing the sum of the absolute changes in the arguments, checking the correspondence of the obtained arguments to the given restrictions, adjusting the value of the argument if it goes beyond the limits of acceptable values, and changing the varied arguments to achieve the given value of the resulting indicator. The solution of two problems with the additive and mixed dependence between the arguments of the function is considered. It is shown that the solutions obtained in this case are consistent with the result of using an iterative procedure based on changing the resulting value to a small value until a given result is achieved, and the results are compared with solving problems using the MathCad mathematical package. The advantage of the algorithm is a smaller number of iterations compared to the known method, as well as the absence of the need to use coefficients of relative importance. The presented results can be used in management decision support system

Розробка алгоритму оптимізації ціни з використанням зворотних обчислень

An algorithm is proposed for solving the price optimization problem using inverse calculations. The algorithm includes two stages: solving the problem of unconditional optimization and solving the inverse problem using inverse calculations while minimizing changes in the arguments of the function. In this case, the solution of the inverse problem can be performed repeatedly within a given number of iterations to sequentially approach the set value of the constraint, and to determine the increment of the arguments, the values of the elements of the gradient/anti-gradient vector of the constraint function are used. To take into account the influence of the arguments on the change of the objective function, its second partial derivatives are used. Five options of the price optimization problem are considered, which nonlinear programming tasks with one restriction are. The revenue of the enterprise, the deviation of demand from the volume of production, the deviation of the sought price from its current value are considered as the objective function. It is shown that the solutions obtained in this way are consistent with the result of using classical methods (Lagrange multipliers, penalties), and the results are also compared with solving problems using the MathCad mathematical package. The advantage of the method is a simpler computer implementation, the ability to obtain a solution in fewer iterations compared to known methods. The method can also be used to solve other problems of the presented type with the following requirements for the objective function and restrictions:1) partial derivatives of the objective function of the first order – linear one-dimensional functions;2) the restriction has the form of equality;3) the constraint is linear or the constraint is quadratic, and the partial derivatives of the first order of the constraint function are one-dimensional linear functions.The article may be useful for specialists making decisions in the field of pricing policies of organizations, as well as the development of optimization models of economic facilities and decision support systemsПредложен алгоритм решения задачи оптимизации цены с помощью обратных вычислений. Алгоритм включает два этапа: решение задачи безусловной оптимизации и решение обратной задачи с помощью обратных вычислений при минимизации изменения аргументов функции. При этом решение обратной задачи может быть выполнено многократно в течение заданного числа итераций для последовательного приближения к установленному значению ограничения, а для определения приращений аргументов используются значения элементов вектора градиента/антиградиента функции ограничения. Для учета влияния аргументов на изменение целевой функции используются её вторые частные производные. Рассмотрено пять вариантов задачи оптимизации цены, которые представляют собой задачи нелинейного программирования с одним ограничением. В качестве целевой функции рассмотрена выручка предприятия, отклонение спроса от объема производства, отклонение искомой цены от её текущего значения. Показано, что получаемые при этом решения согласуются с результатом использования классических методов (множителей Лагранжа, штрафов), также выполнено сравнение результатов с решением задач с помощью математического пакета MathCad. Достоинством метода является более простая компьютерная реализация, возможность получить решение за меньшее число итераций по сравнению с известными методами. Метод может быть также использован для решения других задач представленного вида со следующими требованиями к целевой функции и ограничениям:1) частные производные целевой функции первого порядка – линейные одномерные функции;2) ограничение имеет вид равенства;3) ограничение имеет линейный вид либо ограничение имеет квадратичный вид, а частные производные первого порядка функции ограничения – одномерные линейные функции.Статья может быть полезна для специалистов, осуществляющих принятие решений в области ценовой политики организаций, а также разработку оптимизационных моделей объектов экономики и систем поддержки принятия решенийЗапропоновано алгоритм вирішення задачі оптимізації ціни за допомогою зворотних обчислень. Алгоритм включає два етапи: рішення задачі безумовної оптимізації і рішення зворотної задачі з допомогою зворотних обчислень при мінімізації зміни аргументів функції. При цьому рішення зворотного завдання може бути виконано багаторазово протягом заданого числа ітерацій для послідовного наближення до встановленого значення обмеження, а для визначення збільшень аргументів використовуються значення елементів вектора градієнта/антиградієнта функції обмеження. Для врахування впливу аргументів на зміну цільової функції використовуються її другі приватні похідні. Розглянуто п'ять варіантів завдання оптимізації ціни, які представляють собою завдання нелінійного програмування з одним обмеженням. У завданнях враховується залежність попиту від ціни і передбачається, що вона має лінійний вигляд. Як цільову функцію розглянуто виручку підприємства, відхилення попиту від обсягу виробництва, відхилення шуканої ціни від її поточного значення. Показано, що одержувані при цьому рішення узгоджуються з результатом використання класичних методів (множників Лагранжа, штрафів), також виконано порівняння результатів з рішенням задач за допомогою математичного пакету MathCad. Перевагою методу є більш проста комп'ютерна реалізація, можливість отримати рішення за менше число ітерацій в порівнянні з відомими методами. Метод може бути також використаний для вирішення інших завдань представленого виду з наступними вимогами до цільової функції та обмежень:1) приватні похідні цільової функції першого порядку – лінійні одномірні функції;2) обмеження має вид рівності;3) обмеження має лінійний вигляд або обмеження має квадратичний вигляд, а приватні похідні першого порядку функції обмеження – лінійні одновимірні функції.Стаття може бути корисною для фахівців, що здійснюють прийняття рішень в області цінової політики організацій, а також розробку оптимізаційних моделей об'єктів економіки і систем підтримки прийняття рішен

Development of spreadsheet simulation models of gas cylinders inventory management

The solution of the problem of managing the inventory of an enterprise whose activities are related to the purchase and sale of gas cylinders is considered. To solve the problem, it was necessary to investigate and choose the best inventory management strategy that provides the minimum value of the average inventory balance in the warehouse with the established upper limit of the average deficit. The problem of determining the best strategy is presented as a discrete programming problem, the required variables of which depend on the replenishment method. With a periodic replenishment strategy, the controlled variables are the volume of the delivery line and the delivery interval, with a threshold one, the minimum inventory level and the volume of the delivery line. Let’s also consider replenishment with a predicted inventory level, where the delivery level and the minimum inventory level are used as control variables. Three tabular simulation models with a given delivery time and random demand are proposed. Using the Chi-square test, it was found that the quantity demanded has a normal distribution law. By carrying out computational experiments, the optimal values of controlled variables were determined. The best objective function values were obtained using a model with a predicted inventory level and a threshold replenishment strategy. Experiments conducted on the basis of historical data have shown the advantage of the two model strategies compared to the strategy currently used in the enterprise. The use of a model with a predictable inventory level would reduce the average inventory balance by 46 %, and, consequently, save working capital. The results of the study can be useful for managers of enterprises whose activities are related to inventory managemen

ТАБЛИЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК ИНСТРУМЕНТ ИНТЕРАКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ БАЗОВЫМ ПОНЯТИЯМ ЭКОНОМЕТРИКИ

The article describes how to develop interactive graphical tools to illustrate the basic concepts of econometrics: linear regression, index of determination, autocorrelation, heteroscedasticity, etc. the Implementation is made in the spreadsheet program Excel using the simulation method and can be useful in teaching disciplineВ статье описывается разработка ин-терактивных графических средств для иллюстрации базовых понятий эконо-метрики: парная линейная регрессия, индекс детерминации, автокорреляция, гетероскедастичность и др. Реализация выполнена в табличном процессоре Excel с применением метода имитаци-онного моделирования и может быть полезна в обучении дисциплине

Розробка ітераційних алгоритмів розв'язання зворотної задачі за допомогою зворотних обчислень

Iterative algorithms for solving the inverse problem, presented as a quadratic programming problem, developed by modifying algorithms based on the inverse calculation mechanism are proposed. Iterative algorithms consist in a sequential change of the argument values using iterative formulas until the function reaches the value that most corresponds to the constraint. Two solutions are considered: by determining the shortest distance to the line of the given level determined by the constraint, and by moving along the gradient. This approach was also adapted to solve more general nonlinear programming optimization problems. The solution of four problems is considered: formation of production output and storage costs, optimization of the securities portfolio and storage costs for the given volume of purchases. It is shown that the solutions obtained using iterative algorithms are consistent with the result of using classical methods (Lagrange multiplier, penalty), standard function of the MathCad package. In this case, the greatest degree of compliance was obtained using the method based on constructing the level line; the method based on moving along the gradient is more universal.The advantage of the algorithms is a simpler computer implementation of iterative formulas, the ability to get a solution in less time than known methods (for example, the penalty method, which requires multiple optimizations of a modified function with a change in the penalty parameter). The algorithms can also be used to solve other nonlinear programming problems of the presented kind.The paper can be useful for specialists when solving problems in the field of economics, as well as developing decision support systems.Предложены итерационные алгоритмы решения обратной задачи, представленной в виде задачи квадратичного программирования, разработанные путем модификации алгоритмов, основанных на механизме обратных вычислений. Итерационные алгоритмы заключаются в последовательном изменении значений аргументов с помощью итерационных формул до достижения функцией величины, наиболее соответствующей ограничению. При этом рассмотрено два варианта решения задачи: путем определения кратчайшего расстояния до линии заданного уровня, определяемого ограничением, и путем движения вдоль градиента. Данный подход также был адаптирован для решения оптимизационных задач нелинейного программирования более общего вида. Рассмотрено решение четырех задач: формирование выпуска продукции и складских затрат, оптимизация портфеля ценных бумаг и складских затрат при заданном объеме закупок. Показано, что получаемые при использовании итерационный алгоритмов решения согласуются с результатом использования классических методов (множителей Лагранжа, штрафов), стандартной функции математического пакета MathCad. При этом наибольшая степень соответствия была получена с помощью метода на основе построения линии уровня, метод на основе движения вдоль градиента является более универсальным.Достоинством алгоритмов является более простая компьютерная реализация итерационных формул, возможность получить решение за меньшее время по сравнению с известными методами (например, методом штрафов, требующим многократной оптимизации модифицированной функции с изменением штрафного параметра). Алгоритмы могут быть также использованы для решения других задач нелинейного программирования представленного вида.Статья может быть полезна для специалистов, осуществляющих решение задач в области экономики, а также разработку программных систем поддержки принятия решенийЗапропоновано ітераційні алгоритми розв'язання зворотної задачі, представленої у вигляді задачі квадратичного програмування, розроблені шляхом модифікації алгоритмів, заснованих на механізмі зворотних обчислень. Ітераційні алгоритми полягають у послідовній зміні значень аргументів за допомогою ітераційних формул до досягнення функцією величини, найбільш відповідної обмеженню. При цьому розглянуто два варіанти вирішення задачі: шляхом визначення найкоротшої відстані до лінії заданого рівня, що визначається обмеженням, і шляхом руху вздовж градієнта. Даний підхід також був адаптований для вирішення оптимізаційних завдань нелінійного програмування більш загального вигляду. Розглянуто вирішення чотирьох завдань: формування випуску продукції та складських витрат, оптимізація портфеля цінних паперів та складських витрат при заданому обсязі закупівель. Показано, що одержувані при використанні ітераційний алгоритмів рішення узгоджуються з результатом використання класичних методів (множників Лагранжа, штрафів), стандартної функції математичного пакету MathCad. При цьому найбільша ступінь відповідності була отримана за допомогою методу на основі побудови лінії рівня, метод на основі руху вздовж градієнта є більш універсальним.Перевагою алгоритмів є більш проста комп'ютерна реалізація ітераційних формул, можливість отримати рішення за менший час в порівнянні з відомими методами (наприклад, методом штрафів, що вимагає багаторазової оптимізації модифікованої функції зі зміною штрафного параметра). Алгоритми можуть бути також використані для вирішення інших завдань нелінійного програмування представленого виду.Стаття може бути корисна для фахівців, які здійснюють вирішення завдань в області економіки, а також розробку програмних систем підтримки прийняття рішен

Розробка алгоритмів вирішення зворотного завдання при використанні показників у кількох функціях розрахунку

This paper reports a solution to the inverse problem when using indicators in several calculation functions. Such problems arise during the formation of a multi-level scorecard; solving them makes it possible to determine the value of arguments in order to achieve the specified value of the resulting indicator of each level. Thus, the characteristics of an economic object can be defined in order to achieve the specified indicators of its functioning. Optimization models are given in the presence of various types of conditions for achieving the result. In contrast to existing methods, the approach based on building nonlinear programming models makes it possible to solve the inverse problem for the case where several indicators are used in different calculation functions. Algorithms for solving the inverse problem have been constructed, involving the transformation of constraints and the use of an iterative procedure based on inverse calculations. For the case of using coefficients of relative importance, two techniques of solving the problem have been considered: the formation of a single model for subtasks and the adjustment of the solution to subtasks while minimizing the sum of squares of argument changes. In comparison with the existing method, the proposed algorithms have made it possible to derive a solution with a greater correspondence of the changes in the arguments to the coefficients of relative importance. A solution to the inverse problem has been considered related to the formation of marginal profit of an enterprise in the presence of two points of sale and three types of products, as well as the joint formation of revenue and cost. The results of this study could prove useful to specialists in the field of decision-making in the economy and to developers of software decision support systems that include functions for solving inverse and optimization problems.Рассматривается решение обратной задачи при использовании показателей в нескольких функциях расчёта. Такие задачи возникают при формировании многоуровневой системы показателей и их решение позволяет определять величины аргументов для достижения заданного значения результирующего показателя каждого уровня. Таким образом могут быть определены характеристики экономического объекта для достижения заданных показателей его функционирования. Представлены оптимизационные модели при наличии различных типов условий достижения результата. В отличие от существующих методов подход на основе формирования моделей нелинейного программирования позволяет выполнять решение обратной задачи в случае, когда в разных функциях расчёта используется несколько показателей. Разработаны алгоритмы решения обратной задачи, предполагающие преобразование ограничений и использование итерационной процедуры на основе обратных вычислений. В случае использования коэффициентов относительной важности рассмотрено два способа решения задачи: формирование единой модели для подзадач и корректировка решения подзадач при минимизации суммы квадратов изменений аргументов. По сравнению с существующим методом предложенные алгоритмы позволили получить решение при большем соответствии изменений аргументов коэффициентам относительной важности. Рассмотрено решение обратной задачи формирования маржинальной прибыли предприятия при наличии двух торговых точек и трех видов продукции и совместное формирование выручки и себестоимости. Результаты исследования могут быть полезны специалистам в области принятия решений в экономике и разработчикам программных систем поддержки принятия решений, включающих функции решения обратных и оптимизационных задачРозглядається вирішення зворотного завдання під час використання показників у кількох функціях розрахунку. Такі завдання виникають для формування багаторівневої системи показників та його вирішення дозволяє визначати величини аргументів задля досягнення заданого значення результуючого показника кожного рівня. Таким чином, можуть бути визначені характеристики економічного об’єкта для досягнення заданих показників його функціонування. Подано оптимізаційні моделі за наявності різних типів умов досягнення результату. На відміну від існуючих методів підхід на основі формування моделей нелінійного програмування дозволяє виконувати рішення оберненої задачі у разі, коли в різних функціях розрахунку використовуються кілька показників. Розроблено алгоритми вирішення зворотного завдання, що передбачають перетворення обмежень та використання ітераційної процедури на основі зворотних обчислень. У разі використання коефіцієнтів відносної важливості розглянуто два способи розв’язання задачі: формування єдиної моделі для підзадач та коригування вирішення підзадач при мінімізації суми квадратів змін аргументів. Порівняно з існуючим методом запропоновані алгоритми дозволили отримати рішення за більшої відповідності змін аргументів коефіцієнтам відносної важливості. Розглянуто рішення зворотного завдання формування маржинального прибутку підприємства за наявності двох торгових точок та трьох видів продукції та спільне формування виручки та собівартості. Результати дослідження можуть бути корисні фахівцям у галузі прийняття рішень в економіці та розробникам програмних систем підтримки прийняття рішень, що включають функції вирішення зворотних та оптимізаційних завдань

Розробка ітераційних алгоритмів розв'язання зворотної задачі за допомогою зворотних обчислень

Iterative algorithms for solving the inverse problem, presented as a quadratic programming problem, developed by modifying algorithms based on the inverse calculation mechanism are proposed. Iterative algorithms consist in a sequential change of the argument values using iterative formulas until the function reaches the value that most corresponds to the constraint. Two solutions are considered: by determining the shortest distance to the line of the given level determined by the constraint, and by moving along the gradient. This approach was also adapted to solve more general nonlinear programming optimization problems. The solution of four problems is considered: formation of production output and storage costs, optimization of the securities portfolio and storage costs for the given volume of purchases. It is shown that the solutions obtained using iterative algorithms are consistent with the result of using classical methods (Lagrange multiplier, penalty), standard function of the MathCad package. In this case, the greatest degree of compliance was obtained using the method based on constructing the level line; the method based on moving along the gradient is more universal.The advantage of the algorithms is a simpler computer implementation of iterative formulas, the ability to get a solution in less time than known methods (for example, the penalty method, which requires multiple optimizations of a modified function with a change in the penalty parameter). The algorithms can also be used to solve other nonlinear programming problems of the presented kind.The paper can be useful for specialists when solving problems in the field of economics, as well as developing decision support systems.Предложены итерационные алгоритмы решения обратной задачи, представленной в виде задачи квадратичного программирования, разработанные путем модификации алгоритмов, основанных на механизме обратных вычислений. Итерационные алгоритмы заключаются в последовательном изменении значений аргументов с помощью итерационных формул до достижения функцией величины, наиболее соответствующей ограничению. При этом рассмотрено два варианта решения задачи: путем определения кратчайшего расстояния до линии заданного уровня, определяемого ограничением, и путем движения вдоль градиента. Данный подход также был адаптирован для решения оптимизационных задач нелинейного программирования более общего вида. Рассмотрено решение четырех задач: формирование выпуска продукции и складских затрат, оптимизация портфеля ценных бумаг и складских затрат при заданном объеме закупок. Показано, что получаемые при использовании итерационный алгоритмов решения согласуются с результатом использования классических методов (множителей Лагранжа, штрафов), стандартной функции математического пакета MathCad. При этом наибольшая степень соответствия была получена с помощью метода на основе построения линии уровня, метод на основе движения вдоль градиента является более универсальным.Достоинством алгоритмов является более простая компьютерная реализация итерационных формул, возможность получить решение за меньшее время по сравнению с известными методами (например, методом штрафов, требующим многократной оптимизации модифицированной функции с изменением штрафного параметра). Алгоритмы могут быть также использованы для решения других задач нелинейного программирования представленного вида.Статья может быть полезна для специалистов, осуществляющих решение задач в области экономики, а также разработку программных систем поддержки принятия решенийЗапропоновано ітераційні алгоритми розв'язання зворотної задачі, представленої у вигляді задачі квадратичного програмування, розроблені шляхом модифікації алгоритмів, заснованих на механізмі зворотних обчислень. Ітераційні алгоритми полягають у послідовній зміні значень аргументів за допомогою ітераційних формул до досягнення функцією величини, найбільш відповідної обмеженню. При цьому розглянуто два варіанти вирішення задачі: шляхом визначення найкоротшої відстані до лінії заданого рівня, що визначається обмеженням, і шляхом руху вздовж градієнта. Даний підхід також був адаптований для вирішення оптимізаційних завдань нелінійного програмування більш загального вигляду. Розглянуто вирішення чотирьох завдань: формування випуску продукції та складських витрат, оптимізація портфеля цінних паперів та складських витрат при заданому обсязі закупівель. Показано, що одержувані при використанні ітераційний алгоритмів рішення узгоджуються з результатом використання класичних методів (множників Лагранжа, штрафів), стандартної функції математичного пакету MathCad. При цьому найбільша ступінь відповідності була отримана за допомогою методу на основі побудови лінії рівня, метод на основі руху вздовж градієнта є більш універсальним.Перевагою алгоритмів є більш проста комп'ютерна реалізація ітераційних формул, можливість отримати рішення за менший час в порівнянні з відомими методами (наприклад, методом штрафів, що вимагає багаторазової оптимізації модифікованої функції зі зміною штрафного параметра). Алгоритми можуть бути також використані для вирішення інших завдань нелінійного програмування представленого виду.Стаття може бути корисна для фахівців, які здійснюють вирішення завдань в області економіки, а також розробку програмних систем підтримки прийняття рішен

РАзрАботкА АлгоритмА оптИмИзацИИ ценЫ С использованиеМ обратныХ вычислениЙ

Предложен алгоритм решения задачи оптимизации цены с помощью обратных вычислений. Алгоритм включает два этапа: решение задачи безусловной оптимизации и решение обратной задачи с помощью обратных вычислений при минимизации изменения аргументов функции. При этом решение обратной задачи может быть выполнено многократно в течение заданного числа итераций для последовательного приближения к установленному значению ограничения, а для определения приращений аргументов используются значения элементов вектора градиента/антиградиента функции ограничения. Для учета влияния аргументов на изменение целевой функции используются её вторые частные производные. Рассмотрено пять вариантов задачи оптимизации цены, которые представляют собой задачи нелинейного программирования с одним ограничением. В качестве целевой функции рассмотрена выручка предприятия, отклонение спроса от объема производства, отклонение искомой цены от её текущего значения. Показано, что получаемые при этом решения согласуются с результатом использования классических методов (множителей Лагранжа, штрафов), также выполнено сравнение результатов с решением задач с помощью математического пакета MathCad. Достоинством метода является более простая компьютерная реализация, возможность получить решение за меньшее число итераций по сравнению с известными методами. Метод может быть также использован для решения других задач представленного вида со следующими требованиями к целевой функции и ограничениям:1) частные производные целевой функции первого порядка – линейные одномерные функции;2) ограничение имеет вид равенства;3) ограничение имеет линейный вид либо ограничение имеет квадратичный вид, а частные производные первого порядка функции ограничения – одномерные линейные функции.Статья может быть полезна для специалистов, осуществляющих принятие решений в области ценовой политики организаций, а также разработку оптимизационных моделей объектов экономики и систем поддержки принятия решени

Construction of Algorithms for Solving the Inverse Problem When Using Indicators in Several Calculation Functions

This paper reports a solution to the inverse problem when using indicators in several calculation functions. Such problems arise during the formation of a multi-level scorecard; solving them makes it possible to determine the value of arguments in order to achieve the specified value of the resulting indicator of each level. Thus, the characteristics of an economic object can be defined in order to achieve the specified indicators of its functioning. Optimization models are given in the presence of various types of conditions for achieving the result. In contrast to existing methods, the approach based on building nonlinear programming models makes it possible to solve the inverse problem for the case where several indicators are used in different calculation functions. Algorithms for solving the inverse problem have been constructed, involving the transformation of constraints and the use of an iterative procedure based on inverse calculations. For the case of using coefficients of relative importance, two techniques of solving the problem have been considered: the formation of a single model for subtasks and the adjustment of the solution to subtasks while minimizing the sum of squares of argument changes. In comparison with the existing method, the proposed algorithms have made it possible to derive a solution with a greater correspondence of the changes in the arguments to the coefficients of relative importance. A solution to the inverse problem has been considered related to the formation of marginal profit of an enterprise in the presence of two points of sale and three types of products, as well as the joint formation of revenue and cost. The results of this study could prove useful to specialists in the field of decision-making in the economy and to developers of software decision support systems that include functions for solving inverse and optimization problems